Quadrilaterals Class 8 Extra Questions Maths Chapter 4 - #NCSOLVE 📚

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Class 8 Quadrilaterals Extra Questions

Class 8 Maths Chapter 4 Quadrilaterals Extra Questions

Class 8 Maths Chapter 4 Extra Questions – Quadrilaterals Extra Questions Class 8

Question 1.
Find the perimeter of the parallelogram PQRS.
Solution:
In a parallelogram, the opposite sides have the same length.

Therefore, PQ = SR = 12 cm and QR = PS = 7 cm
So, Perimeter of parallelogram PQRS = PQ + QR + RS + SP
= 12 cm + 7 cm + 12 cm + 7 cm
= 38 cm

Question 2.
The ratio of two adjacent sides of a parallelogram is 4 : 3 and its perimeter is 56 cm. Find the lengths of its adjacent sides.
Solution:
Let the lengths of two adjacent sides of the parallelogram be 4x cm and 3x cm, respectively.
Therefore, the perimeter of the parallelogram = 2(4x + 3x) cm
= 8x + 6x
= 14x cm
Since the perimeter of the parallelogram is 56 cm (Given).
Therefore, 14x = 56
∴ x = 4
Thus, the length of adjacent sides of the parallelogram is: (4 × 4) cm = 16 cm and (3 × 4) cm = 12 cm.

Question 3.
Find the angles a, b and c in the parallelogram TUVW as shown in the figure.
Solution:

In a parallelogram, the opposite angles are equal, i.e., ∠W = ∠U.
So, 95° = ∠a
Now ∠a = ∠c (Alternate angles as TU || WV and UV is a transversal)
So, ∠c = 95°
Now, ∠b + ∠c = 180° (Linear pair of angles)
So, ∠b + 95° = 180°
⇒ ∠b = 180° – 95° = 85°
Thus, ∠a = 95°, ∠b = 85°, and ∠c = 95°.

Question 4.
In the given parallelogram, find the values of x and y.
Solution:

In the parallelogram DEFY,
∠Y = 45° + 70° = 115°
Now, ∠F + ∠Y = 180° (Adjacent angles of a ||gm are supplementary)
⇒ (7x – 5)° + 115° = 180° [∵ ∠F = (7x – 5)° and ∠Y = 115°]
⇒ 7x° + 110°= 180°
⇒ 7x° = 70°
⇒ x = 10
Thus, ∠F = (7x – 5)°
= (7 × 10 – 5)°
= (70 – 5)°
= 65°
Since in a parallelogram, opposite angles are equal.
∴ ∠D = ∠F
⇒ (5y)° = 65°
⇒ 5y = 65
⇒ y = 13
Thus, x = 10 and y = 13.

Question 5.
Find ∠DCA in the given square ABCD.

Solution:
As ABCD is a square, AD = DC and ∠ADC = 90°.
Now, in ∆ADC, AD = DC
⇒ ∠1 = ∠2 (Angles opp. to equal sides are equal)
Also, ∠1 + ∠2 + ∠ADC = 180° (Angle sum property)
⇒ ∠1 + ∠1 + 90° = 180°
⇒ 2 × ∠1 = 180° – 90° = 90°
⇒ ∠1 = 45°
∴ ∠DCA = 45°

Question 6.
Are the opposite sides of a rectangle parallel?
Solution:
Let ABCD be a rectangle.
∴ ∠A, ∠B, ∠C, and ∠D are each equal to 90°.
Here, AB is a transversal to the lines AD and BC.
Also, ∠A + ∠B = 90° + 90° = 180°.
∴ Sum of internal angles ∠A and ∠B on the same side of the transversal AB is 180°.

∴ Lines AD and BC are parallel.
Also, AD is a transversal to the lines AB and DC, and the sum of internal angles ∠A and ∠D on the same side of the transversal is 90° + 90° = 180°.
∴ Lines AB and DC are parallel.
∴ Opposite sides of a rectangle are always parallel.

Question 7.
Is a rectangle a parallelogram?

Solution:
We know that the opposite sides of a rectangle are parallel.
∴ Every rectangle is a parallelogram.
On the other hand, a parallelogram may or may not be a rectangle, because the angles of a parallelogram may not be 90° each.

Question 8.
Draw a parallelogram with adjacent sides of lengths 4 cm and 5 cm, and an angle of 30° between them. What are the remaining angles of the parallelogram? What are the lengths of the remaining sides? See if you can reason out and/or experiment to figure these out.
Solution:
Draw a line segment AB equal to 4 cm.
Using a protractor, draw an angle of 30° on AB at A.
Take point D on the line of angle such that AD = 5 cm.
Draw a line parallel to AB and passing through D.
Draw a line parallel to AD and passing through B.
Let these lines meet at C.
Join CD and BC.

Since opposite sides of the quadrilateral ABCD are parallel, it is the required parallelogram.
∠1 and ∠2 are internal angles on the same side of parallel lines AD and BC.
∴ ∠1 + ∠2 = 180°
⇒ 30° + ∠2 = 180°
⇒ ∠2 = 180° – 30° = 150°.
∠2 and ∠3 are internal angles on the same side of parallel lines AB and DC.
∴ ∠2 + ∠3 = 180°
⇒ 150° + ∠3 = 180°
⇒ ∠3 = 180° – 150° = 30°.
Also, ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°
⇒ 30° + 150° + 30° + ∠4 = 360°
⇒ ∠4 = 360° – 210° = 150°
⇒ ∠2 = 150°, ∠3 = 30° and ∠4 = 150°.
Join B and D.
In ∆ABD and ∆CDB, we have
∠5 = ∠8 (Alternate angles)
∠7 = ∠6 (Alternate angles)
Side BD is common to both triangles.
∴ By the ASA condition, ∆ABD and ∆CDB are congruent.
∴ BC = AD = 5 cm and DC = AB = 4 cm
∴ BC = 5 cm and DC = 4 cm.

Question 9.
Is it wrong to write ∆ABD = ∆CBD in the following parallelogram? Why?

Solution:
In the given figure,
AB = 4 cm and CB = 5 cm.
∴ AB ≠ CB
∴ ∆BD and ∆CBD are not congruent.
Here, ∆ABD and ∆CDB are congruent, because ∠A = ∠C, AB = CD, and side BD is common to both.
∴ Nomenclature of a triangle matters a lot in ‘congruence’.

Question 10.
Are the diagonals of a parallelogram always equal?
Solution:
The diagonals of a parallelogram may or may not be equal.
If a parallelogram happens to be a rectangle, in that case the diagonals would be equal.

In Fig. 1, ABCD is a parallelogram, and the diagonals AC and BD are not equal.
In Fig. 2, PQRS is a parallelogram which is also a rectangle.
Here, the diagonals PR and QS are equal.

Question 11.
Is it wrong to write ∆AOE = ∆SOY in the following parallelogram? Why?

Solution:
In the given figure, EYSA is a parallelogram and AE = SY.
In the given parallelogram, AO may not be equal to SO.
∴ ∆AOE and ∆SOY may not be congruent.
Here, ∆AOE = ∆YOS because AO = YO, ∠AOE = ∠YOS, and OE = OS.
∴ ∆AOE = ∆SOY is incorrect, whereas ∆AOE = ∆YOS is correct.

Question 12.
Show that a rhombus is also a parallelogram.
Solution:
Let ABCD be a rhombus.
∴ AB = BC = CD = DA
We shall show that the opposite sides of ABCD are parallel.
Join B and D.

In ∆ABD and ∆CDB, we have AB = CD, AD = CB, and side BD is common.
∴ By SSS condition, we have ∆ABD = ∆CDB.
∴ ∠1 = ∠6, ∠2 = ∠5 and ∠3 = ∠4
Line BD is a transversal of lines AB and DC.
Since alternate angles ∠2 and ∠5 are equal, the lines AB and DC are parallel.
Also, line BD is a transversal of lines AD and BC.
Since alternate angles ∠3 and ∠4 are equal, the lines AD and BC are parallel.
∴ Opposite sides of the rhombus ABCD are parallel.
∴ Rhombus ABCD is a parallelogram.
Remark 1.
In the above figure,
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
∴ ∠1 + (∠2 + ∠4) = 180° (∵ ∠3 = ∠4)
∴ ∠BAD + ∠ABC = 180°
∴ Sum of adjacent angles in a rhombus is always 180°.
Remark 2.
Since every rhombus is a parallelogram, a rhombus satisfies all the properties of a parallelogram.

Question 13.
Are the diagonals of a rhombus equal?
Solution:
The diagonals of a rhombus may or may not be equal. In case a rhombus happens to be a square, in that case the diagonals of the rhombus would be equal to each other.

Question 14.
A rhombus is a parallelogram, and a rectangle is also a parallelogram. How can this be represented using a Venn diagram? Where will the set of squares occur in this diagram?
Solution:
We know the following:
1. A rectangle may or may not be a rhombus and a rhombus may or may not be a rectangle.
2. Every square is a rectangle.
3. Every square is a rhombus.
These three facts can be shown by using a Venn diagram as follows:

4. Every rectangle or rhombus or square is a parallelogram.
Above four facts can be shown by using a Venn diagram as follows:

Question 15.
Take two cardboard cutouts of an equilateral triangle of side length 8 cm.

(i) Can you join them to get a quadrilateral?

(ii) What type of a quadrilateral is this? Justify your answer.
Solution:
(i) The lengths of the sides, where the triangles are joined are equal, so the triangles can be joined to get a quadrilateral.
(ii) In the quadrilateral, each side is equal to 8 cm. So, it is a rhombus. Since diagonals are not equal, so it can not be a square.

Question 16.
Take two cardboard cutouts of an isosceles triangle with side lengths 8 cm, 8 cm, and 6 cm.

(i) What are the different ways they can be joined to get a quadrilateral?

(ii) What quadrilaterals are these? Justify your answers.
Solution:
(i) First Figure: The lengths of the sides, where the triangles are joined, are 6 cm each, so the triangles can be joined to get a quadrilateral.
Second Figure: The lengths of the sides, where the triangles are joined, are 8 cm each, so the triangles can be joined to get a quadrilateral.

(ii) First Figure: In this quadrilateral, each side is equal to 8 cm.
∴ This quadrilateral is a rhombus.
Since diagonals in this quadrilateral are not equal, it is not a square.
Second Figure: In ∆ABC and ∆CDA, we have AB = CD = 8 cm, BC = DA = 6 cm, and AC is common.

∴ By SSS condition, ∆ABC = ∆CDA.
∴ ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠5 and ∠3 = ∠6
Now AC is a transversal to the lines AB and DC, and ∠1 = ∠4, so AB || DC.
AC is a transversal to the lines BC and AD, and ∠3 = ∠6, so BC || AD.
∴ Opposite sides of the quadrilateral ABCD are parallel.
∴ ABCD is a parallelogram.

Question 17.
Take two cardboard cutouts of a scalene triangle with sides 6 cm, 9 cm, and 12 cm.

(i) What are the different ways they can be joined to get a quadrilateral?
(ii) Are you able to identify the different quadrilaterals that are obtained by joining the triangles?
Justify your answer whenever you identify a quadrilateral.
Solution:
We form two cardboard cutouts of a scalene triangle with sides 6 cm, 9 cm, and 12 cm as shown in the figures below.

(i) These scalene triangles can be joined in the following ways to get a quadrilateral.


(ii) Fig 1. ABCD is a quadrilateral with diagonals AC and BD intersecting at 90°.
Fig 2. ABCD is a quadrilateral with AB = CD, BC = AD, AB || CD, and BC || AD.
∴ ABCD is a parallelogram.
Fig. 3. ABCD is a quadrilateral.
Fig. 4. ABCD is a quadrilateral with AB = CD, BC = AD, AB || CD, and BC || AD.
∴ ABCD is a parallelogram.
Fig. 5. ABCD is a quadrilateral.
Fig. 6. ABCD is a quadrilateral with AB = CD, BC = AD, AB || CD, and BC || AD.
∴ ABCD is a parallelogram.

Question 18.
(i) Construct a trapezium. Measure the base angles.
(ii) Can you find the remaining angles without measuring them?
Solution:
(i) Draw a line PQ. At P and Q. draw two angles.
Take a point S on the line of angle at P.
Using the set-square method or the paper-folding method, draw a line parallel to PQ and passing through S.
Let this line intersect the line of angle at Q at the point R.

PQRS is a trapezium, because PQ || SR.
The base angles are ∠SPQ and ∠RQP.
Using a protractor, we find that ∠P = 75° and ∠Q = 55°.

(ii) SP is a transversal of parallel lines PQ and SR.
∴ ∠P + ∠S = 180°
⇒ 75° + ∠S = 180°
⇒ ∠S = 180 – 75° = 105°.
QR is a transversal of parallel lines PQ and SR.
∴ ∠Q + ∠R = 180°
⇒ 55° + ∠R = 180°
⇒ ∠R = 180° – 55° = 125°.

Question 19.
How do we construct an isosceles trapezium?
Solution:
Draw a line AB. Using the set-square method or the paper-folding method, draw a line parallel to AB.
Using a compass, draw an arc with centre at A so that the arc intersects the parallel line, say, at C.
With this radius, draw an arc with centre at B to intersect the parallel line, say, at D.
Join AC and BD.

Here AB || CD and AC = BD.
∴ The quadrilateral ABDC is an isosceles trapezium.

Question 20.
(i) Construct an isosceles trapezium UVWX, with UV || XW. Measure ∠U.

Can you find the remaining angles without measuring them?
Does it appear that the angles opposite to the equal sides ∠U and ∠V are also equal?
Can we find congruent triangles here?
Consider line segments XY and WZ perpendicular to UV.
(ii) What type of quadrilateral is XWZY?
(iii) Now, it can be shown that ∆UXY = ∆VWZ. (How?)
Solution:
(i) Draw a line UV.
Using the set-square method or paper-folding method, draw a line parallel to UV.
Using a compass, mark points X and W on the parallel line so that UX and VW are equal.
Join UX and VW.

Here, UVWX is an isosceles trapezium and UV || XW.
Using a protractor, we find that ∠U is equal to 64°.
Draw perpendiculars XY and WZ on the line UV.
In right-angled triangles ∆UXY and ∆VWZ, we have
UX = VW (Hypotenuse)
XY = WZ (Distance between parallel lines)
∴ ∆UXY and ∆VWZ are congruent.
∴ ∠U = zv
∴ ∠V = 64° (∵ ∠U = 64°)
UX is a transversal of parallel lines UV and XW.
∴ ∠U + ∠X = 180°
⇒ 64° + ∠X = 180°
⇒ ∠X = 180° – 64° = 116°
VW is a transversal of parallel lines UV and XW.
∴ ∠V + ∠W = 180°
⇒ 64° + ∠W = 180°
⇒ ∠W = 180° – 64° = 116°.
∴ ∠V = 64°, ∠X = 116° and ∠W = 116°.

(ii) XY is a transversal of parallel lines UV and XW.
∠XYV + ∠WXY = 180°
⇒ 90° + ∠WXY = 180°
⇒ ∠WXY =180° – 90° = 90°
WZ is a transversal of parallel lines UV and XW.
∴ ∠WZU + ∠XWZ = 180°
⇒ 90° + ∠XWZ = 180°
⇒ ∠XWZ = 180° – 90° = 90°
Each angle of the quadrilateral XWZY is equal to 90°.
Join WY.
In right-angled triangle ∆XYW and ∆ZWY, we have XY = ZW.
Hypotenuse YW is common.
∴ ∆XYW and ∆ZWY are congruent.
∴ XW = ZY
∴ Opposite sides of the quadrilateral XWZY are also equal.
∴ XWZY is a rectangle.

(iii) In the solutions of part (i), we have already shown that ∠UXY = ∠VWZ.

Question 21.
Find the values of x and y from the trapezium given below.

Solution:
Since, ABCD is a trapezium as AB || CD.
∴ 30° + x = 180° and y + 60° = 180°
⇒ x = 180° – 30° = 150°
and y = 180° – 60° = 120°

Question 22.
Construct a kite whose diagonals are of lengths 5 cm and 10 cm.
Solution:
The steps of the construction are as follows
(i) Draw a line segment AC of length 5 cm.
(ii) Since, we know that the longer diagonal of a kite bisects the shorter diagonal at 90°.
So, draw a perpendicular bisector of AC and denote the line joining the points M and N by l, which intersects AC at O.

(iii) Now, mark pointsB andD on line l, above and below the line AC, respectively such that OB / OD.
Let’s say, OB = 4 cm and OD = 6 cm because OB + OD = 4 cm + 6 cm = 10 cm, which is the length of longer diagonal.
(iv) Now, join AB, BC, AD and DC to get the required kite ABCD.

Question 23.
Find all the other angles of the following parallelogram ABCD.

Solution:
Here, ∠D = 105° = ∠B [since, opposite angles are equal]
∴ ∠C = 180° – 105° = 75° and ∠C = ∠A = 75°
[since, adjacent angles are supplementary]
∠A = 75°, ∠B = 105°, ∠C = 75° and ∠D = 105°

Question 24.
In figure, NECK is a parallelogram (lengths are in cm).
Given that OE = 5 and NCis 7 more than KE. Find ON.

Solution:
If OE = 5 cm, then OK= 5 cm.
[∵ the diagonals of a parallelogram bisect each other]
So, KE = 2 x OE= 2 x 5 = 10 cm
Since, NC is 7 cm more than KE.
Therefore, NC = 10 + 7 = 17 cm
Hence, ON= \(\frac{1}{2}\) × NC
= \(\frac{1}{2}\) × 17
= 8.5 cm

Question 25.
The measure of two adjacent angles of a parallelogram are in the ratio 5 : 4. Find the measure of each of the angles of parallelogram.
Solution:
Let the parallelogram ABCD and adjacent angles C and D be 5x and 4x, respectively.

We know that the adjacent angles in a parallelogram are supplementary.
So, 5x + 4x = 180°
⇒ 9x = 180°
⇒ x = 180° × \(\frac{1}{9}\)
= 20°
So, the adjacent angles are 20° × 5 = 100°and 20° × 4 = 80°.
Also, in a parallelogram, opposite angles are equal.
Hence, measure of each of the angles are 100°, 80°, 100° and 80°.

Question 26.
The ratio ofTwo sides of a parallelogram is 5 : 9 and its perimeter is 112 cm. Then, find the sides of the parallelogram.
Solution:
Given, ratio of two sides of a parallelogram = 5 : 9
and perimeter of a parallelogram = 112 cm
Let STUV is a parallelogram and sides ST and UV be 9x and 5x, respectively.,

Let STUV be a parallelogram.
Let ST = 9x cm and TU = 5x cm
v ST = UV=9x cm
and TU = SV= 5x cm
∴ Perimeter of STUV =112
⇒ ST + TU + UV + SV= 112
⇒ 9x + 5x + 9x + 5x = 112
⇒ 28x = 112
⇒ x = \(\frac{112}{28}\) ⇒ x = 4
∴ ST = UV = 9x = 9 × 4 = 36 cm
and TU = SV= 5x = 5 × 4 = 20 cm

Question 27.
Draw a parallelogram with adjacent sides of length 7 cm, 5 cm and an angle of 60° between them.
Solution:
The steps of construction are as follows
(i) Draw a line segment AB = 7 cm and AD = 5 cm with an angle of 60° between them.

(ii) Draw a line parallel to AB through the point D and a line parallel to AD through the point B. Mark the point at which these lines intersect as C.
This gives the required parallelogram ABCD.

Question 28.
HEAD is a Rhombus. Its diagonal meet at 0, then find the values of x and y.

Solution:
Since, diagonals of a rhombus are bisectors of each others, therefore
OD = OE and OH = OA
⇒ 2y – 5 = y + 3 and 3x – 6 = x + 2
⇒ y – 8 and 3x – x = 6 + 2
⇒ 2x = 8
⇒ x = 4
∴ x = 4 and y = 8

Question 29.
In given rhombus ABCD, if ∠ACB = 60° then find the measure of ∠BAC, ∠ADCand ∠DAB.

Solution:
Since, AB = BC = CD = DA
∠BAC = ∠ACB [∵ AB = BC]
∠BAC = 60°
Now, using angle sum property of a AABC,
we have ∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°
⇒ ∠ABC = 180° – (60° + 60°)
= 180° – 120° = 60°
But ∠D = ∠B
∠D = 60° or ∠ADC = 60°
Also, ∠DAB = 180° – ∠ABC = 180° – 60° = 120°
Hence, ∠BAC = 60°, ∠ADC = 60° and ∠DAB = 120°.

Question 30.
Using the diagonal properties, construct a rhombus whose diagonals are of length 8 cm and 3 cm.
Solution:
The steps of construction are as follows
(i) Draw a line segment AC of length 8 cm as one of diagonals.
(ii) Locate the mid-point O of AC.
(iii) Since, the diagonals of a rhombus bisect each other at 90°. So, draw another line segment BD of length 3 cm which makes an angle of 90° with the line segment AC such that BO = DO = 15 cm.
(iv) Join AB, AD, BC and CD to get the rhombus ABCD.

Question 31.
RANK is a rectangle. Its diagonals meet at O. Find ON and x (length in cm).

Solution:
Here, OK is half of AK and ON is half of RN. Since, the diagonals are equal.
So, their halves are also equal.
∴ OR = OA
⇒ x + 5 – 3x – 11
⇒ 2x = 16
⇒ x = 8
and ON = OR = x + 5 = 8 + 5 = 13cm

Question 32.
In rectangle ABCD, if ∠OAB = 48° then find ∠CDB.

Solution:
Since, each of the angle of a rectangle is 90°.
∠1 + 48° =90°
⇒ ∠1 =90° – 48° = 42°
Also, in rectangle diagonals are equal and bisect each other.
∴ OA = OB = OC = OD
⇒ ∠1 = ∠2 = 42°
Also, ∠2 + ∠3 = 90°
⇒ ∠3 = 90° – 42° = 48°
So, ∠CDB = 48°

Question 33.
Draw a quadrilateral whose diagonals are of equal length 5 cm that bisect each other at an angle of 60°. Identify the quadrilateral.
Solution:
The steps of construction are as follows.
(i) Draw a line segment AC of length 5 cm.
(ii) Mark the mid-point O of AC.
(iii) Draw another line segment BD of length 5 cm, passing through O, such that O is also the mid-point of BD and ensure that angle ∠COB is 60°.
(iv) Join AD, AB, CD and BC to get the quadrilateral.

Class 8 Maths Chapter 4 Extra Questions in Hindi चतुर्भुज

Quadrilaterals Class 8 Extra Questions in Hindi

A. दक्षता आधारित प्रश्न (MCQs)

प्रश्न 1.
दर्शाए गए चतुर्भुज PQRS पर विचार कीजिए:
कौन – सा व्यंजक चतुर्भुज PQRS के सभी कोणों की मापों के योग को निरूपित करता है?

(a) 2 × 90°
(b) 2 + 180°
(c) 2 × 180°
(d) 2 + 90°

प्रश्न 2.
नीचे दिए चतुर्भुज ABCD पर विचार कीजिए:

इस चतुर्भुज के ∠DAB की क्या माप है?
(a) 14°
(b) 69°
(c) 83°
(d) 113°

प्रश्न 3.
दो विद्यार्थी यह निर्धारित कर रहे थे कि किस चतुर्भुज का एक अंतः कोण दिया रहने पर उसके सभी अंतः कोण ज्ञात किए जा सकते हैं। उनके उत्तर इस प्रकार दर्शाए जा रहे हैं:
विद्यार्थी A : वह चतुर्भुज एक पतंग होगा।
विद्यार्थी B : वह चतुर्भुज एक समद्विबाहु समलंब होगा।
किसका उत्तर सही है?
(a) केवल विद्यार्थी A
(b) केवल विद्यार्थी B
(c) दोनों विद्यार्थी A और B
(d) न तो विद्यार्थी A और न ही विद्यार्थी B

प्रश्न 4.
अनामिका ने एक चतुर्भुज ABCD की रचना नीचे दर्शाई आकृति के अनुसार की, जहाँ BC = 18 से.मी., AD = 22 से.मी., CD = 20 से.मी., विकर्ण AC = 22 से.मी. और विकर्ण BD = 28 से.मी. है।

निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प उसकी सही रचना का औचित्य प्रदान करता है?
(a) AC = AD
(b) BC + AD + CD > AC + BD
(c) त्रिभुज BCD में BC + CD ≠ BD, CD + BD ≠ BC, BD + BC ≠ CD है तथा त्रिभुज ACD में, AC + AD ≠ CD, AC + CD ≠ AD, CD + AD ≠ AC है।
(d) त्रिभुज BCD में BC + CD BD, CD + BD > BC, BD + BC > CD है तथा त्रिभुज ACD में, AC + AD > CD, AC + CD > AD, CD + AD AC है।

प्रश्न 5.
गगन एक ऐसा चतुर्भुज खींचता है, जिसके विकर्ण बिंदु O पर परस्पर लंब है।
यह निष्कर्ष निकालने के लिए कि वह चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है, हमें कौन-सी अतिरिक्त सूचना की आवश्यकता है?
(a) बिंदु O को दोनों विकर्णो का मध्य-1 य-बिंदु होना चाहिए।
(b) बिंदु O को लंबे विकर्ण का मध्य-बिंदु होना चाहिए।
(c) बिंदु O दोनों विकर्णों को 1 2 के अनुपात में विभाजित करता है।
(d) बिंदु O को छोटे विकर्ण का मध्य- – बिंदु होना चाहिए।

प्रश्न 6.
प्रश्न पाठ्य : एक शिक्षक ने अपने विद्यार्थियों से AB = 12 से.मी., BC = 9 से.मी., ∠A = 60°, ∠B = 105° और ∠C = 105° के एक चतुर्भुज ABCD की रचना करने के लिए कहा गया। एक विद्यार्थी ने रचना के निम्नलिखित चरणों का पालन किया:
चरण 1: AB = 12 से.मी. खींचिए।
चरण 2: B को शीर्ष लेकर, ∠ABE = 105° बनाइए।
चरण 3: A को केंद्र मानकर और 9 से.मी. त्रिज्या लेकर BE को C पर प्रतिच्छेद करता हुआ एक चाप खींचिए ।
चरण 4: A को शीर्ष लेकर ∠BAF = 60° बनाइए।
चरण 5: C को शीर्ष लेकर, ∠BCG = 105° बनाइए।
इस चतुर्भुज की रचना करते समय विद्यार्थी से एक त्रुटि हुई है। विद्यार्थी ने किस चरण पर पहली त्रुटि की है?
(a) चरण 2
(b) चरण 3
(c) चरण 4
(d) चरण 5
उत्तर:
1. (c) चरण 4,
2. (c) चरण 4,
3. (b) चरण 3,
4. (d) चरण 5,
5. (a) चरण 2,
6. (b) चरण 3.

B. स्थिति अध्ययन

प्रश्न 1.
एक चतुर्भुज के बारे में सोचना: सुनीता निम्नलिखित गुणों वाले एक चतुर्भुज के बारे में सोच रही है:

• सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म बराबर हैं।
• विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
(a) इस आकार की श्रेष्ठतम प्रकार से निम्नलिखित के रूप में व्याख्या की जा सकती है:
(i) समलंब
(ii) पतंग
(iii) आयत
(iv) समचतुर्भुज
उत्तर:
(iv) समचतुर्भुज

रिक्त स्थानों को भरिए:
(b) इस आकार की सभी भुजाएँ …………………………….. हैं। (समान / असमान)
उत्तर:
समान

(c) इस आकार के विकर्ण …………………………….. हैं। (समान / असमान)
उत्तर:
असमान

(d) इस आकार के सभी कोण …………………………….. हैं। (समान / असमान)
उत्तर:
असमान

(e) इस आकार का प्रत्येक विकर्ण इसके सम्मुख कोणों को …………………………….. करता है।
(समद्विभाजित / समद्विभाजित नहीं)
उत्तर:
समद्विभाजित

प्रश्न 2.
एक विद्यार्थी से PQ = 4.5 सेमी QR = 5.5 सेमी., RS = 4 सेमी., PS= 6 सेमी. और PR = 7 सेमी. के साथ एक चतुर्भुज PQRS की रचना करने के लिए कहा गया। वह रचना के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन करता है:

चरण 1: एक रेखाखंड PQ = 4.5 से.मी. खींचिए।
चरण 2: P को केंद्र और 6 से.मी. त्रिज्या लेकर एक चाप खींचिए।
चरण 3: Q को केंद्र और 5.5 से.मी. त्रिज्या लेकर एक चाप खींचिए, जो चरण 2 के चाप को R पर प्रतिच्छेद करे।
चरण 4: R को केंद्र और 4 से.मी. त्रिज्या लेकर एक चाप खींचिए।
चरण 5: P को केंद्र और 7 से.मी. त्रिज्या लेकर एक चाप खींचिए, जो चरण 4 के चाप को S पर प्रतिच्छेद करे।
चरण 6: P, Q, R और S को क्रमानुसार जोड़कर चतुर्भुज PQRS प्राप्त कीजिए।

(a) रचना में कुछ गलतियाँ हो गई हैं। सही की जाने वाली गलतियाँ है:
(i) चरणों 2 और 4 की त्रिज्याओं को परस्पर बदल दीजिए।
(ii) चरणों 2 और 5 की त्रिज्याओं को परस्पर बदल दीजिए।
(iii) चरणों 3 और 4 की त्रिज्याओं को परस्पर बदल दीजिए।
(iv) चरणों 3 और 5 की त्रिज्याओं को परस्पर बदल दीजिए।
उत्तर:
(ii) चरणों 2 और 5 की त्रिज्याओं को परस्पर बदल दीजिए।

(b) यदि QR = 2.5 से.मी. हो, तो क्या इस चतुर्भुज की रचना संभव होगी?
उत्तर:
नहीं

(c) यदि PS = 5 से.मी. हो, तो क्या इस चतुर्भुज की रचना संभव होगी?
उत्तर:
हाँ

(d) यदि RS = 2 से.मी. हो, तो क्या इस चतुर्भुज की रचना संभव होगी?
उत्तर:
हाँ

(e) यदि PR = 11 से.मी. हो, तो क्या इस चतुर्भुज की रचना संभव होगी?
उत्तर:
नहीं

C. अभिकथन – कारण प्रश्न

निम्नलिखित में से प्रत्येक प्रश्न में दो कथन दिए गए हैं। एक को अभिकथन (A) और दूसरे को कारण (R) कहा गया है। आपको दिए गए चार विकल्पों में से सही विकल्प का चुनाव करना है।
(a) दोनों कथन (A) और (R) सही हैं, तथा (A) का (R) सही स्पष्टीकरण है।
(b) दोनों कथन (A) और (R) सही हैं, परंतु (A) का (R) सही स्पष्टीकरण नहीं है।
(c) (A) सही है, परंतु (R) सही नहीं है।
(d) (R) सही है, परंतु (A) सही नहीं है।

प्रश्न 1.
(A) : यदि AB = 4 से.मी., BC = 5 से.मी., CD = 6.5 से.मी., ∠B = 80° और ∠C = 105° है, तो हम चतुर्भुज ABCD की रचना कर सकते हैं।
(R) : एक चतुर्भुज की अद्वितीय रूप से रचना की जा सकती है, यदि उसकी तीन भुजाएँ और दो अंतर्गत कोण ज्ञात हैं।
उत्तर:
(a) दोनों कथन (A) और (R) सही हैं, तथा (A) का (R) सही स्पष्टीकरण है।

प्रश्न 2.
(A) : एक चतुर्भुज PQRS की रचना की जा सकती है, यदि PQ = 3.5 से.मी., QR = 4 से.मी., RS = 5 से.मी., PS = 4.5 से.मी. और QS = 6.5 से.मी. है।
(R) : एक चतुर्भुज की रचना की जा सकती है, यदि उसकी तीन भुजाएँ और दो विकर्ण ज्ञात हैं।
उत्तर:
(b) दोनों कथन (A) और (R) सही हैं, परंतु (A) का (R) सही स्पष्टीकरण नहीं है।

प्रश्न 3.
(A) : यदि BC = 6 से.मी., CD = 4.5 से.मी. और BD = 7.5 से.मी. है, तो एक समांतर चतुर्भुज ABCD की रचना नहीं की जा सकती है।
(R) : एक चतुर्भुज की रचना की जा सकती है, यदि उसकी चार भुजाएँ और एक विकर्ण ज्ञात है।
उत्तर:
(d) (R) सही है, परंतु (A) सही नहीं है।

प्रश्न 4.
(A) : एक चतुर्भुज के पाँच अवयवों के मापनों का उपयोग उसकी अद्वितीय रचना के लिए किया जा सकता है।
(R) : यदि ∠A = 70°, ∠B = 120°, ∠C = 110°, ∠D = 60° और BC = 6 से.मी. है, तो एक चतुर्भुज ABCD की अद्वितीय रूप से रचना की जा सकती है।
उत्तर:
(c) (A) सही है, परंतु (R) सही नहीं है।

प्रश्न 5.
(A) : यदि AB = 4 से.मी., CD = 6 से.मी. और BD = 8 से.मी. है, तो एक पतंग ABCD की रचना नहीं की जा सकती है।
(R) : एक चतुर्भुज की रचना की जा सकती है, यदि उसकी चार भुजाएँ और एक विकर्ण ज्ञात हैं।
उत्तर:
(d) (R) सही है, परंतु (A) सही नहीं है।

D. मिलान कीजिए

स्तंभ I का स्तंभ II से मिलान कीजिए:

स्तंभ I	स्तंभ II
(i) चतुर्भुज जिसके सभी कोण बराबर हैं	(a) समचतुर्भुज
(ii) चतुर्भुज जिसके विकर्ण समकोण पर समद्विभाजित करते हैं	(b) पतंग
(iii) चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर हैं	(c) वर्ग
(iv) चतुर्भुज जिसके सभी कोण बराबर हैं तथा विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं	(d) आयत
(v) एक चतुर्भुज जिसकी आसन्न भुजाओं के दोनों युग्म बराबर हैं	(e) समांतर चतुर्भुज

उत्तर:
(i) – (d), (ii) – (a), (iii) – (e), (iv) – (c), (v) – (b).

स्तंभ I	स्तंभ II
(i) चतुर्भुज जिसके सभी कोण बराबर हैं	(d) आयत
(ii) चतुर्भुज जिसके विकर्ण समकोण पर समद्विभाजित करते हैं	(a) समचतुर्भुज
(iii) चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर हैं	(e) समांतर चतुर्भुज
(iv) चतुर्भुज जिसके सभी कोण बराबर हैं तथा विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं	(c) वर्ग
(v) एक चतुर्भुज जिसकी आसन्न भुजाओं के दोनों युग्म बराबर हैं	(b) पतंग

E. सत्य / असत्य

1. एक पतंग समचतुर्भुज नहीं होती है।
उत्तर:
सत्य

2. एक चतुर्भुज के कोणों का योग एक त्रिभुज के कोणों के योग का दुगुना होता है।
उत्तर:
सत्य

3. यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब हैं, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
उत्तर:
असत्य

4. आयत के विकर्ण बराबर नहीं होते हैं।
उत्तर:
असत्य

5. एक वर्ग के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्धिभाजित करते हैं।
उत्तर:
सत्य

F. रिक्त स्थानों को भरिए

प्रश्न 1.
आयत के विकर्ण ____________________ होते हैं।
उत्तर:
समान

प्रश्न 2.
एक चतुर्भुज HOPE की आसन्न भुजाओं के युग्म ____________________ हैं।
उत्तर:
HO और OP, OP और PE; PE और HE और HE और HO;

प्रश्न 3.
एक समचतुर्भुज के विकर्ण ____________________ कोणों के प्रत्येक युग्म को समद्धिभाजित करते हैं।
उत्तर:
सम्मुख

प्रश्न 4.
एक पतंग के विकर्ण परस्पर ____________________ होते हैं।
उत्तर:
लम्ब

प्रश्न 5.
एक समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण ___________________ होते हैं।
उत्तर:
संपूरक

G. अति संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
चतुर्भुज ROPE की सम्मुख भुजाओं के युग्मों को लिखिए।
हल:
RO और PE; RE और OP

प्रश्न 2.
यदि किसी त्रिभुज के तीन कोण 120°, 50° और 130° हैं, तो उसका चौथा कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
चौथा कोण = 360° – (120° + 50° + 130°)
= 360° – 300°
= 60° है।

प्रश्न 3.
समचतुर्भुज RING के विकर्ण लिखिए।
हल:
विकर्ण RN और IG हैं।

प्रश्न 4.
यदि किसी समांतर चतुर्भुज ABCD का ∠A = 50° है, उस समांतर चतुर्भुज का कोण B ज्ञात कीजिए।
हल:
∠A + ∠B = 180° है।
अतः ∠B = 180° – ∠A
= 180° – 50°
= 130° है।

प्रश्न 5.
यदि एक आयत PQRS का एक विकर्ण PR = 6 से.मी. है, तो उसके दूसरे विकर्ण QS की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।
अत:, QS = PR = 6 सेमी. है।

H. संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समांतर चतुर्भुज में, x, y और z के मान ज्ञात कीजिए।

हल:
x = 100° (एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
y + 100° = 180° है।
अतः, y = 180° – 100° = 80° है।
साथ ही, z = y = 80° है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित समचतुर्भुज PQRS में, x और y के मान ज्ञात कीजिए।

हल:
ΔOPQ से, 90° + x + 30° = 180° है।
अतः, x = 180° – 90° – 30° = 60° है।

क्योंकि एक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्धिभाजित करते हैं, इसलिए
∠PQR = 2 × 30° = 60° है।
अत:, ∠PSR = y = ∠PQR = 60° है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समांतर चतुर्भुज ABCD में, x और y के मान ज्ञात कीजिए।

हल:
3x + 2x = 180° (एक समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण)
या 5x = 180° है।
या x = \(\frac{180^{\circ}}{5}\) = 36° है।
इसलिए, y = 2x
= 2 × 36°
= 72° है।

प्रश्न 4.
समांतर चतुर्भुज PQRS में, x, y और z के मान ज्ञात कीजिए।

हल:
x = 50° (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
x + y = 180° है।
अतः, y = 180° – 50°
= 130° है।
अब ∠1 = y = 130° है।
अतः, z = 180° – 130°
= 50° है।

प्रश्न 5.
समांतर चतुर्भुज DEFG में x, y और z के मान ज्ञात कीजिए।

हल:
x = 110° (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
अब, x + y + 40° = 180° है।
अत:, 110° + 40° + y = 180°
या y = 180° – 110°- 40°
= 30° है।
अत:, ∠z = ∠y = 30° है। (एकांतर कोण)

I. दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक समलंब ABCD की रचना कीजिए, जिसमें AB || DC, ∠A = 105°, AD= 3 से.मी., AB = 4 से.मी. और CD = 8 से.मी. है।
हल:
∠A + ∠D = 180°
105° + ∠D = 75° है।
रचना के चरण:

1. AB = 4 से.मी. खींचिए।
2. \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) इस प्रकार खींचिए कि ∠BAX = 105° हो।
3. AX पर एक बिंदु D इस प्रकार अंकित कीजिए कि AD = 3 से.मी. हो।
4. \(\overrightarrow{\mathrm{DY}}\) खींचिए ताकि ∠ADY = 75° हो।
5. DY पर एक बिंदु C इस प्रकार अंकित कीजिए ताकि CD = 8 से.मी. हो।
6. BC को मिलाइए।
   ABCD ही वाँछित समलंब है।

प्रश्न 2.
एक समचतुर्भुज की रचना कीजिए, जिसके विकर्ण 5.2 से.मी. और 6.4 से. मी. लंबे हैं।
हल:
मान लीजिए विकर्ण AC = 5.2 से.मी. और विकर्ण BD = 6.4 से.मी. है।

रचना के चरण:

1. AC = 5.2 से.मी. खींचिए।
2. AC के लंब समद्विभाजक XY को खींचिए जो AC को O पर काटे।
3. O को केंद्र मानकर और त्रिज्याओं (\(\frac{\mathrm{BD}}{2}\) = \(\frac{6.4}{2}\) से.मी.) = 3.2 से.मी. को लेकर चाप खींचिए, जो OX को D पर तथा OY को B पर काटे ।
4. AB, BC, CD और DA को मिलाइए।
   तब, ABCD ही वाँछित समचतुर्भुज है।

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